理系必須！【2022滋賀大学】理系 データサイエンス 第4問D

[@はに-o9t]

解説してくださってありがとうございます
とても理解できました！

[@chiho_juken]

こちらこそ、良い質問をありがとうございました(^^)

[@eltonpolna3279]

改めて新設問を投稿させていただきます。今回は【対数関数の数列】に関する設問になります。お時間の許される限りで動画解説いただければ幸いです。：
【視聴者からの質問】
『設問：２つの正の数 x, y が log₃x+log₉y²=2 を満足しながら変化するとき，x, y の関数 fn(x,y)=log₃(x^n+y^n+k^n) の最小値を an とする。 a₃=4 になるとき，数列｛an｝の一般項 an と初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ。ただし，k は正の定数，n は自然数とする。』

[@chiho_juken]

ありがとうございます。
大切に投稿させていただきます(^^)

[@eltonpolna3279]

上記当方の質問設問の「答案例」をご紹介させていただきます。動画作製の「叩き台｣｢別解」などのご参考になれば幸いです。：
底の変換公式より
log₉y²
=log₃y²/log₃9
=log₃y
ゆえに，与えられた x,y の関係式は，
log₃x+log₃y=2
log₃xy=2
∴xy=9 ･･①
x, y が正の数であるから２つの正の数 x³, y³ は相加相乗平均の関係式より，
x³+y³≧2√(x³y³)
①より
x³+y³≧2(xy)^(3/2)=54 (等号成立は x=y=3)
よって x³+y³ は最小値 54 をとる.
ここで，底３は１より大きいので
f₃(x,y)=log₃(x³+y³+k³)　
も，このとき最小になり，最小値は，
a₃=log₃(54+k³)
となる.
a₃=4 であるから，
log₃(54+k³)=4
54+k²=3⁴
∴k³=27
k は実数であるから k=3.
一般に，n が自然数のとき２つの正の数 x^n, y^n は相加相乗平均の関係式より，
x^n+y^n≧2√(x^n･y^n)
①より，
x^n+y^n≧2(xy)^(n/2)=2･3^n
よって，
x=y=3 のとき x^n+y^n
したがって，fn(x,y)=log₃(x^n+y^n+k^n) は最小になり最小値は，
an
=log₃(2･3^n+3^n)
=log₃3^(n+1)
=n+1■
となる.
これが数列｛an｝の一般項で，初項が２，公差が１の等差数列になっているので，
Sn
=Σ(k-1→n)ak
={2+(n+1)}{(n+1)-1}/2
=n(n+3)/2■

[@chiho_juken]

助かります。ぺこり。
受験生のお役に立つ良問ですね〜(^^)

[@paromaru]

さすが有名な滋賀大学データサイエンス学部の問題、結構ヘビーだなぁ
(2)のN=1の時は、もし積分やり通せたとしても気付かない自信ある笑

[@chiho_juken]

おっしゃる通りです(^^)
ベビーです❗️
N=1 に気付ける人は、スゴイです。

[@2100akio]

滋賀大のDSの数学って他大学と違って確率分布と統計的な推測が出題されたり問題の一部が選択式だったり結構特徴的な部分ありますよね。試験時間から逆算すると1題当たり20分位で解く必要があるので、あまり余裕はないですね…

[@chiho_juken]

そうなんですね〜。
今年も、二項分布と正規分布が出たり、
選択問題の片方は時間がかかる問題ですし、
ホントに特徴的だと思います。
余裕はないですね。

[@gemini0613]

（3） の解答で、Σと∫の交換がしれっとされてるのが気になりました。

[@chiho_juken]

おっしゃる通りです。
よろしくないです。
本当は途中式を入れるべきです。
ご指摘ありがとうございます。ぺこり。